Bổ đề cơ bản cũng giống như Định lý lớn Fermat, Giả thuyết Riemann hay Giả thuyết Poincaré, đều là những bài toán khó nhất và có ứng dụng nhiều nhất của Toán học hiện đại.

Nhưng một câu hỏi cũng được đặt ra ngay sau ngày GS Ngô Bảo Châu nhận giải thưởng Fields: Sau công trình kỳ vĩ và giải thưởng danh giá nhất sẽ là gì?

Trả lời mối quan tâm đó, người ta đang hướng tới 7 bài toán thiên niên kỷ (7 Millennium Problems) do Viện Toán học Clay (Clay Mathematics Institute) công bố vào năm 2000, mà phần thưởng cho người giải được 1 trong số 7 bài toán này cực kỳ hấp dẫn: Giải thưởng Millennium Prize với trị giá 1 triệu USD/giải.

Trong số 7 bài toán này, mới chỉ có 1 bài được giải quyết. Đó là bài toán số 2 - Giả thuyết Poincaré. Người chiến thắng là nhà Toán học người Nga Grigori Perelman và sau khi phép chứng minh được thẩm định, Perelman đã được trao giải Fields năm 2006 và Millennium Prize 2010 (nhưng ông kiên quyết từ chối nhận giải).

7 bài toán thiên niên kỷ

Sau đây là danh sách 7 bài toán thiên niên kỷ do Viện Toán học Clay công bố và mô tả sơ lược :

1. Vấn đề P và NP (P versus NP problem)

Với quyển từ điển trong tay, liệu bạn thấy tra nghĩa của từ “thằn lằn” dễ hơn, hay tìm một từ phổ thông để diễn tả “loài bò sát có bốn chân, da có vảy ánh kim, thường ở bờ bụi” dễ hơn? Câu trả lời hầu như chắc chắn là tra nghĩa thì dễ hơn tìm từ.

Các nhà Toán học lại không chắc chắn như thế. Nhà Toán học Canada, Stephen Cook là người đầu tiên đặt ra câu hỏi này vào năm 1971 theo cách Toán học. Sử dụng ngôn ngữ logic của Tin học, ông đã định nghĩa một cách chính xác tập hợp những vấn đề mà người ta thẩm tra kết quả dễ hơn (gọi là tập hợp P), và tập hợp những vấn đề mà người ta dễ tìm ra hơn (gọi là tập hợp NP).

Liệu hai tập hợp này có trùng nhau không? Các nhà logic học khẳng định P # NP. Như mọi người, họ tin rằng có những vấn đề rất khó tìm ra lời giải, nhưng lại dễ thẩm tra kết quả. Nó giống như việc tìm ra khai triển của 992865951 là việc rất phức tạp, nhưng rất dễ kiểm tra rằng 258357 * 3843 = 13717421. Đó chính là nền tảng của phần lớn các loại mật mã: rất khó giải mã, nhưng lại dễ kiểm tra mã có đúng không. Tuy nhiên, cũng lại chưa có ai chứng minh được điều đó.

“Nếu P = NP, mọi quan niệm của chúng ta đến nay là sai. Một mặt, điều này sẽ giải quyết được rất nhiều vấn đề Tin học ứng dụng trong công nghiệp; nhưng mặt khác lại sẽ phá hủy sự bảo mật của toàn bộ các giao dịch tài chính thực hiện qua Internet” - Stephen Cook thông báo.

Vấn đề P chống lại NP có vai trò rất quan trọng trong Khoa học máy tính và là tổng hòa của các vấn đề thuộc nhiều lĩnh vực: Toán học, Triết học, Sinh vật học và Mật mã.

2. Giả thuyết Hodge (Hodge conjecture)

Giả thuyết Hodge là một vấn đề lớn của Hình học Đại số và có liên quan đến Topo Đại số. Trong thế kỷ XX, các đường thẳng và đường tròn trong Hình học Euclide đã bị thay thế bởi các khái niệm Đại số, khái quát và hiệu quả hơn trong Hình học hiện đại.

Khoa học của các hình khối và không gian đang dần dần đi tới hình học của “tính đồng đẳng”. Chúng ta đã có những tiến bộ đáng kinh ngạc trong việc phân loại các thực thể Toán học, nhưng việc mở rộng các khái niệm đã dẫn đến hậu quả là bản chất Hình học dần dần biến mất trong Toán học.

Vào năm 1950, nhà Toán học người Anh - William Hodge cho rằng trong một số dạng không gian, các thành phần của tính đồng đẳng sẽ tìm lại bản chất Hình học của chúng. Đó là nội dung của Giả thuyết Hodge mà vẫn chưa có nhà Toán học nào giải quyết được.

3. Giả thuyết Poincaré (Poincaré conjecture, đã được chứng minh)

Henri Poincaré là nhà Vật lý học và Toán học người Pháp. Giả thuyết Poincaré do ông đưa ra năm 1904 đã tồn tại hơn 100 năm cho tới khi Grigori Perelman chính thức được công nhận đã giải quyết được bài toán này.

Lấy một quả bóng hoặc một vật hình cầu, vẽ trên đó một đường cong khép kín không cắt nhau, sau đó cắt quả bóng theo đường vừa vẽ, ta nhận được hai mảnh bóng vỡ. Cắt ngang một cái phao hình xuyến, ta chỉ được có một mảnh vỡ.

Năm 1904, Poincaré đặt ra câu hỏi: “Liệu tính chất này của các vật hình cầu có còn đúng trong không gian 4 chiều?”. Điều kỳ lạ là các nhà Hình học Topo đã chứng minh được rằng điều này đúng trong những không gian lớn hơn hoặc bằng 5 chiều, nhưng chưa ai chứng minh được tính chất này vẫn đúng trong không gian 4 chiều, cho tới Perelman.

4. Giả thuyết Riemann (Riemann hypothesis)

Giả thuyết Riemann được nhà Toán học người Đức Bernhard Riemann công bố năm 1859, có liên hệ mật thiết với sự phân bố các số nguyên tố. Số nguyên tố có vai trò rất quan trọng với số học, đó là những số chỉ có thể chia hết cho 1 và chính nó. 

Thoạt nhìn thì có vẻ các số nguyên tố phân bố ngẫu nhiên, không theo một quy tắc nào, nhưng nó liên kết chặt chẽ với một hàm số Zeta nhà Toán học Leonard Euler đưa ra. Đến năm 1859, Riemann đưa ra ý tưởng các giá trị không phù hợp với hàm số Euler được sắp xếp theo thứ tự. Giả thuyết trên đã được rất nhiều nhà Toán học lao vào giải quyết từ 150 năm nay. Họ đã kiểm tra tính đúng đắn của nó trong 1.500.000.000 giá trị đầu tiên nhưng vẫn không sao chứng minh được.

“Đối với nhiều nhà Toán học, đây là vấn đề quan trọng nhất của toán học thuần túy” - Enrico Bombieri, Giáo sư Đại học Princeton nhận xét.

5. Các phương trình của Yang - Mills (Yang - Mills existence and mass gap)

Các phương trình của Yang - Mills được xác lập vào những năm 1950 bởi các nhà Vật lý người Mỹ - Chen Nin Yang và Robert Mills. Các phương trình này biểu diễn mối quan hệ mật thiết giữa Vật lý về hạt cơ bản với Hình học của các không gian sợi. Nó cũng cho thấy sự thống nhất của Hình học với phần trung tâm của lượng tử, gồm tương tác tác yếu, mạnh và tương tác điện từ.

Từ lâu, các nhà Vật lý đã sử dụng các phương trình của Yang - Mills trong các máy gia tốc hạt trên toàn thế giới nhưng cho tới nay, các nhà Toán học vẫn không thể xác định chính xác số nghiệm của các phương trình này.

6. Các phương trình Navier - Stokes (Navier - Stokes equations)

Các phương trình của Navier - Stokes là vấn đề trung tâm của Cơ học chất lỏng. Các phương trình này mô tả sự vận động của các chất lỏng (và cả chuyển động của các chất khí như các cơn lốc, chuyển động của khí quyển và cả hình thái của các thiên hà trong thời điểm nguyên thủy của vũ trụ).

Lời giải cho các phương trình của Navier - Stokes có rất nhiều ứng dụng riêng biệt. Việc tìm lời giải của các phương trình Navier - Stokes, bao gồm cả dòng chảy rối, vẫn là một trong số những vấn đề lớn nhất chưa được giải quyết của Vật lý, bất chấp tầm quan trọng của nó đối với khoa học - kỹ thuật.

Các phương trình mô tả dòng chảy của chất lỏng được Claude-Louis Navier (người Pháp, Giáo sư Đại học cầu đường Paris) và George Gabriel Stokes (người CH Ireland, Giáo sư Đại học Cambridge) đưa ra cách đây 150 năm. Tuy nhiên, những phương trình của Navier-Stokes đến nay vẫn là một điều bí ẩn của Toán học, hiện vẫn chưa thể giải hay xác định số nghiệm của phương trình này.

“Thậm chí người ta không thể biết là phương trình này có nghiệm hay không. Điều đó cho thấy hiểu biết của chúng ta về các phương trình này còn hết sức ít ỏi” - Giáo sư Toán học người Mỹ Charles Fefferman nhận xét (Charles Fefferman đoạt giải Fields năm 1978 và là người có ảnh hưởng lớn đến chứng minh Bổ đề cơ bản của GS Ngô Bảo Châu).

7. Giả thuyết của Birch và Swinnerton-Dyer (Birch and Swinnerton-Dyer conjecture)

Các phương trình Đại số nghiệm nguyên thuộc phạm vi nghiên cứu của Lý thuyết số và đã được nghiên cứu từ hơn 2000 năm. Người ta cũng biết từ 30 năm nay rằng không có phương pháp tổng quát nào giúp tìm ra số các nghiệm nguyên của các phương trình dạng này.

Tuy nhiên, với nhóm phương trình quan trọng nhất có đồ thị là các đường cong Elip loại 1, hai nhà toán học người Anh Bryan Birch và Peter Swinnerton-Dyer từ đầu những năm 1960 đã đưa ra giả thuyết là số nghiệm của phương trình phụ thuộc vào một hàm số f. Nếu hàm số f triệt tiêu tại giá trị bằng 1 (nghĩa là f(1) = 0), phương trình có vô số nghiệm; nếu không, số nghiệm là hữu hạn.

Các nhà Toán học đều thừa nhận tính đúng đắn của giả thuyết này nhưng cũng giống như giả thuyết Riemann, vẫn chưa có ai chứng minh được điều đó.

• Theo VTC