Kết quả sau nhiều năm ấp ủ

Tác giả của công trình bắt đầu nghiên cứu bài toán hit của Peterson vài năm 2005 với việc nghiên cứu và tính toán đối với đại đa thức 4 biến bằng cách dùng phương pháp và các kết quả trong luận án của Kameko. Những kết quả đầu tiên được báo cáo tại hội nghị ĐAHITO tổ chức tại TP. Hồ Chí Minh vào tháng 11/2005 và Hội nghị kỷ niệm 50 năm thành lập Khoa Toán – Cơ – Tin học, trường ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội vào tháng 10/2006. Việc tính toán này đã hoàn thành đầy đủ và được báo cáo tại hội nghị Đông Á về Tôpô Đại số được tổ chức tại Seoul, Hàn Quốc vào tháng 11/2007. Kết quả này không công bố chính thức mà chỉ được thông báo cho một số đồng nghiệp trong nước và quốc tế. 

Trong khoảng thời gian này, do điều kiện công tác của tác giải vừa giảng dạy vừa làm công tác quản lý và nghiên cứu khoa học nên thời gian dành cho công việc nghiên cứu không nhiều. Đến năm 2010, tác giả mới có thời gian nghiên cứu lý thuyết để rút ngắn các tính toán đối với  trường hợp 4 biến. Sau 2 năm nghiên cứu, đến cuối năm 2011, tác giả đã thu được một kết quả quan trọng đối với bài toán hit tại bậc tổng quát. Kết quả này được ứng dụng hữu hiệu để rút ngắn các tính toán đối với trường hợp đại số đa thức 4 biến, nhất là về cấu trúc của các tập hợp sinh cực tiểu. Công trình này được hoàn thành sơ bộ và được báo cáo tại Hội nghị Đông Á về Tôpô Đại số lần thứ tư tại Tokyo, Nhật Bản vào tháng 11/2011 và Đại hội Toán học phối hợp Việt – Pháp tổ chức tại Huế vào tháng 8/2012.

Tiếp đó, đến tháng 7/2013 trong thời gian làm việc tại Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán, PGS. TS Nguyễn Sum đã hoàn thiện và gửi đăng công trình này. Trong quá trình phản biện, bài báo đã được sửa đổi, bổ sung theo góp ý và  bản thảo cuối cùng được hoàn thành vào tháng 12/2014, chính thức được công bố trên tạp chí Advances in Mathematics vào tháng 04/2015.

PGS. TS. Nguyễn Sum cho biết, vì công trình này rất dài với các kỹ thuật, tính toán rất phức tạp nên Tạp chí công bố phần thứ nhất về bài toán hit tại bậc tổng quát với đầy đủ chi tiết; lần thứ hai là ứng dụng của kết quả trong phần thứ nhất để giải bài toán hit trường hợp 4 biến, được công bố tóm tắt cấu trúc của các tập hợp sinh cực tiểu với phép chứng minh chi tiết của một số trường hợp đơn giản nhất. Phép chứng minh chi tiết của tất cả các trường hợp khác được Tạp chí yêu cầu công bố online trong một bài báo dài 240 trang trên arXiv (http://arxiv.org/abs/1412.1709) kèm theo công bố chính thức trên Tạp chí.

Tiếp tục nghiên cứu

Trong việc nghiên cứu và công bố, số lượng và chất lượng của công trình thường không song hành. Do đó, phải có những tính toán trong việc công bố để hài hòa giữa số lượng và chất lượng. Để có một bài công bố chất lượng cao thì phải hy sinh số lượng. Để công bố bài báo “On the Peterson hit problem” PGS.TS. Nguyễn Sum đã phải mất 10 năm (từ năm 2005 đến 2015). Ông đã phải chấp nhận không công bố chính thức bài báo dài 240 trang mà chỉ công bố online, mặc dù bài này được các chuyên gia của chuyên ngành đánh giá cao, có thể công bố thành nhiều bài trên các tạp chí ISI có chất lượng.

Những kết quả của bài báo này có thể ứng dụng để nghiên cứu dãy phổ Adams đối với lý thuyết đồng luân ổn định của mặt cầu thông qua đồng cấu chuyển đại số của Singer; lý thuyết biểu diễn của các nhóm tuyến tính mà thường được sử dụng trong hóa học lượng tử và ứng dụng trong một số bài toán khác của lý thuyết đồng luân.

  Đến nay, “Peterson hit problem” vẫn là bài toán mở với số biến lớn hơn 4. Do có tính thời sự cao nên PGS. TS. Nguyễn Sum sẽ tiếp tục nghiên cứu bài toán này nhưng kết hợp với việc ứng dụng để kiểm định một giả thuyết của Singer đối với đồng cấu chuyển đại số. Thời gian gần đây, ông đã đạt được một số kết quả và đã gửi đăng một số bài theo hướng nghiên cứu này. Trong quá trình nghiên cứu ông đã đào tạo được một số nghiên cứu sinh làm khá tốt “hit problem”, nhờ vậy đã hình thành được một nhóm làm việc chứ không còn làm độc lập như trước đây. Nhóm của  PGS. TS. Nguyễn Sum sẽ đạt được những kết quả mới trong thời gian tới.